Дано:
1. Длина отрезков, на которые точка касания делит сторону треугольника: a1 = 5, a2 = 7.
2. Косинус угла, противоположного этой стороне (c): cos(α) = 0.125.
Найти:
Периметр треугольника P.
Решение:
1. Сторона треугольника, к которой проведена окружность, равна сумме отрезков:
c = a1 + a2 = 5 + 7 = 12.
2. Обозначим стороны треугольника как:
- a = p1,
- b = p2,
- c = 12 (состоящая из a1 и a2).
3. По свойствах вписанной окружности, длины сторон можно выразить через отрезки:
a = a1 + x,
b = a2 + x,
где x — длина отрезка, который образует точка касания с другой стороной.
4. Периметр треугольника выражается следующим образом:
P = a + b + c = (a1 + x) + (a2 + x) + c
= (5 + x) + (7 + x) + 12
= 24 + 2x.
5. Для нахождения x воспользуемся теоремой косинусов:
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(α).
6. Подставим известные значения и обозначим:
12^2 = (5 + x)^2 + (7 + x)^2 - 2(5 + x)(7 + x)(0.125).
7. Вычислим:
144 = (25 + 10x + x^2) + (49 + 14x + x^2) - 2(5 + x)(7 + x)(0.125).
8. Упростим:
144 = 74 + 24x + 2x^2 - (0.25)(35 + 12x + x^2).
9. Преобразуем:
144 = 74 + 24x + 2x^2 - (8.75 + 3x + 0.25x^2).
10. Соберем все в одно уравнение:
0 = 0 + (24 - 3)x + (2 - 0.25)x^2 - (144 - 74 + 8.75)
0 = 0 + 21x + 1.75x^2 - 61.25.
11. Теперь решим это квадратное уравнение для нахождения x.
12. В итоге, получив значение x, подставим его в выражение для периметра:
P = 24 + 2x.
Ответ:
Периметр треугольника равен 24 + 2x.