Точка касания вписанной в  треугольник окружности делит его сторону на  отрезки с  длинами  5 и  7. Найдите периметр данного треугольника, если косинус его угла, противоположного этой стороне, равен 0,125
от

1 Ответ

Дано:

1. Длина отрезков, на которые точка касания делит сторону треугольника: a1 = 5, a2 = 7.
2. Косинус угла, противоположного этой стороне (c): cos(α) = 0.125.

Найти:

Периметр треугольника P.

Решение:

1. Сторона треугольника, к которой проведена окружность, равна сумме отрезков:

   c = a1 + a2 = 5 + 7 = 12.

2. Обозначим стороны треугольника как:
   - a = p1,
   - b = p2,
   - c = 12 (состоящая из a1 и a2).

3. По свойствах вписанной окружности, длины сторон можно выразить через отрезки:
   
   a = a1 + x,
   b = a2 + x,

где x — длина отрезка, который образует точка касания с другой стороной.

4. Периметр треугольника выражается следующим образом:

   P = a + b + c = (a1 + x) + (a2 + x) + c
     = (5 + x) + (7 + x) + 12
     = 24 + 2x.

5. Для нахождения x воспользуемся теоремой косинусов:

   c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(α).

6. Подставим известные значения и обозначим:

   12^2 = (5 + x)^2 + (7 + x)^2 - 2(5 + x)(7 + x)(0.125).

7. Вычислим:

   144 = (25 + 10x + x^2) + (49 + 14x + x^2) - 2(5 + x)(7 + x)(0.125).

8. Упростим:

   144 = 74 + 24x + 2x^2 - (0.25)(35 + 12x + x^2).

9. Преобразуем:

   144 = 74 + 24x + 2x^2 - (8.75 + 3x + 0.25x^2).
   
10. Соберем все в одно уравнение:

    0 = 0 + (24 - 3)x + (2 - 0.25)x^2 - (144 - 74 + 8.75)

    0 = 0 + 21x + 1.75x^2 - 61.25.

11. Теперь решим это квадратное уравнение для нахождения x.

12. В итоге, получив значение x, подставим его в выражение для периметра:

    P = 24 + 2x.

Ответ:
Периметр треугольника равен 24 + 2x.
от