Дано: треугольник ABC. Проведены высоты AA1, BB1 и биссектрису CE. Отрезок A1B1 делит биссектрису CE пополам.
Найти: величину угла ACB.
Решение:
1. Обозначим угол ACB как α.
2. Так как отрезок A1B1 делит биссектрису CE пополам, то отрезок A1B1 — это медиана треугольника A1B1C, проведенная из точки C. В треугольнике A1B1C медиана из вершины C делит сторону A1B1 пополам.
3. Рассмотрим треугольник A1B1C. Поскольку A1B1 — это медиана, а также CE является биссектрисой и делится отрезком A1B1 пополам, это означает, что A1B1 проходит через ортоцентр треугольника A1B1C.
4. В треугольнике A1B1C медиана, проходящая через ортоцентр, совпадает с биссектрисой, если треугольник является равнобедренным. Следовательно, треугольник A1B1C равнобедренный, где A1B1 — основание, и углы у основания равны.
5. Так как треугольник A1B1C равнобедренный, то угол у основания равен углу C в треугольнике ABC, и каждый из этих углов равен 90° - α/2.
6. Если в треугольнике A1B1C угол A1CB1 равен 90°, то α = 90°.
7. В треугольнике ABC, чтобы A1B1 делил биссектрису CE пополам и треугольник был правильным, угол ACB должен быть равен 90°.
Ответ: Угол ACB равен 90°.