Дано: треугольник ABC. На сторонах AB и BC выбраны точки P и Q соответственно так, что угол PCB равен углу QAB. Точки M и N — середины отрезков AQ и CP.
Найти: угол ABN и угол CBM.
Решение:
1. Обозначим угол PCB как α, и угол QAB также как α. Это значит, что треугольники PCB и QAB подобны по углам.
2. Так как M и N — середины отрезков AQ и CP, отрезок MN является средней линией в треугольнике APC и треугольнике ABQ.
3. Рассмотрим треугольник APC. По свойству средней линии MN в этом треугольнике MN параллелен AC и MN = 1/2 AC.
4. Рассмотрим треугольник ABQ. Средняя линия MN также параллельна AQ и MN = 1/2 AQ.
5. Точки M и N по определению лежат на прямой, которая параллельна основаниям треугольников, и следовательно, MN параллелен AB и BC.
6. Из подобия треугольников PCB и QAB, мы знаем, что угол PCB = угол QAB = α. Это также означает, что угол CBM = угол QAB и угол ABN = угол PCB.
7. Поскольку MN параллелен AB и BC, угол ABN равен углу CBM, так как они образованы двумя параллельными линиями с поперечной линией.
Ответ: угол ABN равен углу CBM.