дано:
- Диагонали ромба равны a и b.
найти:
Площадь четырёхугольника, образованного точками касания вписанной окружности со сторонами ромба.
решение:
1. Площадь S ромба можно вычислить по формуле:
S = (a * b) / 2.
2. В ромбе, вписанная окружность касается всех четырех сторон. Точки касания образуют новый четырёхугольник, который является прямоугольником.
3. Площадь этого четырёхугольника можно выразить через полупериметр P ромба и радиус r вписанной окружности. Полупериметр ромба будет равен:
P = 4s, где s - длина стороны ромба.
4. Длина стороны ромба s может быть найдена через диагонали a и b с использованием теоремы Пифагора:
s = sqrt((a/2)^2 + (b/2)^2) = sqrt(a^2/4 + b^2/4) = (1/2) * sqrt(a^2 + b^2).
5. Подставляя значение s в формулу для полупериметра, получаем:
P = 4 * (1/2) * sqrt(a^2 + b^2) = 2 * sqrt(a^2 + b^2).
6. Радиус вписанной окружности r ромба можно найти следующим образом:
r = S / P = [(a * b) / 2] / [2 * sqrt(a^2 + b^2)] = (a * b) / [4 * sqrt(a^2 + b^2)].
7. Площадь четырёхугольника, образованного точками касания, равна:
P_кас = r * P = [(a * b) / (4 * sqrt(a^2 + b^2))] * [2 * sqrt(a^2 + b^2)] = (a * b) / 2.
ответ:
Таким образом, площадь четырёхугольника, образованного точками касания окружности со сторонами ромба, равна (a * b) / 2.