Дано: пусть ABCD - прямоугольная трапеция, где AB || CD, угол A = 90°, угол B = 90°; E - точка пересечения диагоналей AC и BD; F - основание перпендикуляра, опущенного из точки E на сторону AB.
Найти: угол CFE равен углу DFE.
Решение:
1. Обозначим длины оснований: AB = a, CD = b.
2. Высота трапеции (расстояние между основаниями) будет обозначена h.
3. Точки A, B, C и D можно расположить в координатной системе:
- A(0, 0)
- B(a, 0)
- C(x, h)
- D(y, h), где x и y подбираются так, чтобы CD || AB.
4. Угол CFE и угол DFE образованы отрезками CF и DF, проведенными из точки E к сторонам CD и AB, соответственно.
5. Поскольку треугольники CEF и DEF имеют общую высоту EF (перпендикуляр из E на AB) и основание CF и DF, то мы можем воспользоваться теоремой о равенстве углов при основании.
6. Заметим, что поскольку AB || CD, угол CEF равен углу DEF, так как они являются соответственными углами при параллельных прямых.
7. Таким образом, по свойству вертикальных углов, у нас есть:
- угол CFE + угол CEF = 90°
- угол DFE + угол DEF = 90°
8. Следовательно, угол CFE = угол DFE, так как сумма углов в каждой тройке является одинаковой.
Ответ: угол CFE равен углу DFE.