Дано: треугольник ABC. Точка M на основании AC такова, что AM : CM = m : n. Прямая проведена через вершину A и середину отрезка BM.
Найти: в каком отношении эта прямая делит сторону BC.
Решение:
1. Обозначим точку D как середину отрезка BM. Это значит, что BD : DM = 1 : 1.
2. Установим координаты точек:
- Пусть A(0, h), B(b1, 0) и C(c1, 0).
- Поскольку M находится на AC и AM : CM = m : n, то можно выразить координаты точки M как:
M(xM, yM) = (c1 * n / (m + n), h * m / (m + n)).
3. Теперь координаты точки D будут:
D(xD, yD) = ((b1 + xM) / 2, (0 + yM) / 2).
4. Построим уравнение прямой AD. Уравнение прямой можно записать в виде:
y - yA = k(x - xA),
где k — угловой коэффициент, равный (yD - h) / (xD - 0).
5. Прямая AD будет пересекать сторону BC в некоторой точке E. Чтобы найти это пересечение, запишем уравнение стороны BC.
6. Сторона BC описывается уравнением:
y = 0 (так как все точки B и C имеют нулевую ординату).
7. Подставим y = 0 в уравнение прямой AD и найдем координату точки E:
0 - h = k(xE - 0).
8. Найдем точку пересечения и отношение BE : EC. Для этого выразим координаты точки E, затем вычислим расстояния BE и EC.
9. Поскольку D является серединой отрезка BM, использовав теорему о средних пропорциях, получаем, что прямая AD делит сторону BC в отношении, обратном отношению AM : CM.
10. Это дает нам результат:
BE : EC = n : m.
Ответ: Прямая делит сторону BC в отношении n : m.