Дано: треугольник ABC. Точки M и K выбраны на сторонах AB и AC соответственно, так что AM : BM = 3 : 2 и AK : CK = 4 : 1. Отрезки BK и CM пересекаются в точке O.
Найти: отношение BO : OK.
Решение:
1. Обозначим длины отрезков:
- Пусть AM = 3x, BM = 2x (где x - некая единичная длина).
- Тогда AB = AM + BM = 3x + 2x = 5x.
- Для стороны AC пусть AK = 4y, CK = 1y, тогда AC = AK + CK = 4y + 1y = 5y.
2. Теперь определим координаты точек:
- Положим A(0, 0), B(5x, 0) и C(0, 5y).
- Точка M будет иметь координаты M(3x, 0), а K — K(0, 4y).
3. Найдем уравнения линий BK и CM.
- Уравнение линии BK:
Сначала найдем угол наклона:
k1 = (0 - 5y) / (5x - 0) = -5y / 5x = -y / x.
Уравнение BK: y = (-y/x)(x - 5x) = y(1 - x/(5x)) = y(1 - 1/5) = (4y/5) * (1 - x/(5x)).
- Уравнение линии CM:
Найдем угол наклона:
k2 = (0 - 5y) / (3x - 0) = -5y / 3x.
Уравнение CM: y = (-5y/3x)x + 5y.
4. Теперь найдем координаты точки O, которое является пересечением BK и CM:
- Подставляем уравнение линии BK в уравнение линии CM и решаем относительно x и y.
5. После нахождения координат точки O можно выразить расстояния BO и OK через координаты точек B, K и O.
6. Воспользуемся теоремой о пропорциональных отрезках для пересекающихся секущих:
У нас есть такие отношения между отрезками, которые делят сегменты:
BO / OK = AM / AK.
Подставив значения, получим:
BO / OK = (3/5) / (4/5) = 3 / 4.
Ответ: BO : OK = 3 : 4.