Дано: неравнобедренный треугольник ABC, где углы при вершинах A, B и C равны соответственно α, β и γ.
Найти: доказать, что основания биссектрис трёх внешних углов треугольника лежат на одной прямой.
Решение:
1. Рассмотрим внешние углы треугольника ABC. Внешний угол при вершине A равен 180° - α, при вершине B - 180° - β, при вершине C - 180° - γ.
2. Биссектрисы внешних углов делят их пополам, поэтому биссектрисы внешних углов будут делить соответствующие внешние углы на две равные части: (180° - α)/2, (180° - β)/2, (180° - γ)/2.
3. Обозначим пересечения биссектрис внешних углов с прямыми, проходящими через соответствующие вершины треугольника, как P, Q и R соответственно.
4. Заметим, что эти биссектрисы пересекаются в одной точке, если мы проведем внутренние углы треугольника через точку пересечения.
5. Таким образом, основания биссектрис внешних углов треугольника ABC лежат на одной прямой. Это следует из того, что линии, соединяющие основания биссектрис внешних углов, являются параллельными и пересекаются в одной точке, которая является точкой пересечения биссектрис внутренних углов треугольника.
Ответ: Основания биссектрис трёх внешних углов неравнобедренного треугольника лежат на одной прямой.