Дано: в треугольнике ABC выбраны точки K и L на сторонах AB и BC соответственно, такие что AK : AB = 6 : 11 и BL : BC = 2 : 5. Найдите отношение AP : PL, где P — точка пересечения прямых AL и CK.
Решение:
1. Обозначим точку пересечения прямых AL и CK как P. Мы будем использовать теорему о пересечении двух секущих (теорема о пересечении секущих).
2. Пусть x = AK/AB = 6/11 и y = BL/BC = 2/5. Мы будем использовать следующие обозначения:
- AB = c,
- BC = a,
- AK = (6/11)c,
- BL = (2/5)a.
3. Воспользуемся теоремой о пересечении секущих. В треугольнике ABC и точках K и L на сторонах AB и BC, точки K и L делят стороны AB и BC на отрезки, которые соотносятся как x и y.
4. Рассмотрим треугольники AKP и BLP. Поскольку точки K и L выбраны таким образом, мы можем использовать свойства пересечения прямых:
По теореме о пересечении секущих для точек AL и CK, имеем:
- AP/PL = AK/KB * BL/LC,
где KB = AB - AK = (5/11)c,
- LC = BC - BL = (3/5)a.
5. Подставим значения:
- AK/KB = (6/11) / (5/11) = 6/5,
- BL/LC = (2/5) / (3/5) = 2/3.
Следовательно:
- AP/PL = (AK/KB) * (BL/LC) = (6/5) * (2/3) = 12/15 = 4/5.
Ответ: AP : PL = 4 : 5.