Дано:
- Четырехугольник ABCD, где угол B равен углу C.
- Диагонали пересекаются в точке O.
- Прямая, проведенная через точку O параллельно стороне AD, пересекает стороны AB и CD в точках M и K соответственно.
Найти:
- Доказать, что MO : OK = AB : CD.
Решение:
1. Так как угол B равен углу C, четырехугольник ABCD является подобным, где углы при противоположных вершинах равны, и стороны пропорциональны.
2. Поскольку прямая через O параллельна стороне AD и пересекает стороны AB и CD в точках M и K соответственно, углы при точках пересечения равны.
Так, угол BMO равен углу CKD, так как они соответствуют углам при параллельных прямых и секущих.
3. Поскольку треугольники BMO и CKD имеют равные углы и одна параллельная прямая, то треугольники BMO и CKD подобны.
4. По свойству подобия треугольников, соответствующие стороны пропорциональны. Это означает, что:
MO / OK = BM / CK.
5. Теперь рассмотрим подобие четырехугольников, учитывая пропорциональные стороны. Поскольку MO / OK = BM / CK и стороны AB и CD пропорциональны, получаем:
MO / OK = AB / CD.
Ответ:
MO : OK = AB : CD.