Дано: непрямоугольный треугольник ABC, точка O — центр описанной окружности, точка H — точка пересечения высот (ортцентр) треугольника ABC.
Найти: доказать, что точка O и точка H изогонально сопряжены.
Решение:
1. Рассмотрим треугольник ABC и его ортцентр H и центр описанной окружности O.
2. Изогональное сопряжение точек означает, что углы при этих точках должны дополнять углы треугольника до 180 градусов.
3. В треугольнике ABC для каждой вершины, например, углы при A, B и C, мы имеем:
- ∠BHC = 180° - ∠A
- ∠AHB = 180° - ∠C
- ∠BHA = 180° - ∠B
4. Центр описанной окружности O треугольника ABC находится на пересечении биссектрис и делит углы треугольника пополам. Тогда:
- ∠BOD = 90° + ∠A/2
- ∠COE = 90° + ∠B/2
- ∠AOF = 90° + ∠C/2
5. Величины углов, сформированных центром окружности O и ортцентром H, удовлетворяют условиям изогонального сопряжения, так как углы H в треугольнике и O с учетом описанной окружности комплементарны углам треугольника.
Ответ: точки O и H изогонально сопряжены.