Дано:
- Радиус окружности R = 11.
- Расстояние от центра окружности O до точки P = 7.
- Длина хорды AB = 18.
Найти:
- Отрезки AP и PB, на которые делится хорда точкой P.
Решение:
1. Обозначим отрезки:
- AP = x,
- PB = y.
2. Поскольку хорда делится точкой P, то:
x + y = 18.
3. Для нахождения отрезков можно воспользоваться свойством хорды и расстоянием от центра до точки P.
4. Известно, что перпендикуляр, опущенный из центра окружности O на хорду AB, делит её пополам. Обозначим точку M как середину хорды AB:
AM = MB = 18 / 2 = 9.
5. По теореме о расстоянии от центра до хорды:
OP² + AM² = R².
6. Подставим известные значения:
7² + 9² = 11².
7. Проверим:
49 + 81 = 121,
130 ≠ 121.
8. Следовательно, мы не можем использовать это уравнение. Рассмотрим другое уравнение:
OA² = OP² + AP², где AP = x, тогда:
OA² = 11² = 121,
OP² = 7² = 49,
x² + 49 = 121.
9. Решим уравнение для x:
x² = 121 - 49,
x² = 72,
x = √72 = 6√2.
10. Теперь найдем y:
x + y = 18,
6√2 + y = 18,
y = 18 - 6√2.
Ответ:
Отрезки, на которые делится хорда, равны 6√2 и 18 - 6√2.