Дано:
- Угол с вершиной O и двумя сторонами OA и OB.
- Первая окружность (C1) касается стороны OA в точке M.
- Вторая окружность (C2) касается стороны OB в точке K.
Найти:
- Докажите, что на прямой MK эти окружности высекают равные хорды.
Решение:
1. Обозначим радиусы окружностей C1 и C2 как R1 и R2 соответственно.
2. По свойству касания окружности и стороны угла, мы знаем, что:
- Отрезок OM перпендикулярен стороне OA.
- Отрезок OK перпендикулярен стороне OB.
3. На прямой MK проведем перпендикуляры к окружностям C1 и C2 в точках, где они пересекают прямую MK. Обозначим эти точки пересечения как A1 (для C1) и A2 (для C2).
4. Рассмотрим треугольники OMA1 и OKA2:
- В этих треугольниках OA1 и OA2 являются радиусами окружностей, а OM и OK — перпендикулярами к касательным.
5. Поскольку угол между прямыми OA и OB общий для обоих треугольников, углы OMA1 и OKA2 равны.
6. Таким образом, треугольники OMA1 и OKA2 подобны, и следовательно, их соответствующие отрезки будут пропорциональны.
7. Это означает, что длины хорд, высеченных на прямой MK окружностями C1 и C2, равны:
- A1M = A2K.
Ответ:
Окружности высекают равные хорды на прямой MK.