Дано: Равнобедренный треугольник ABC с AB = AC. Биссектрису CL угла ACB пересекает отрезок BK. На луче AC отложен отрезок AK, равный BL. Докажите, что точки B, L, K и C лежат на одной окружности.
Найти: Доказать, что точки B, L, K и C лежат на одной окружности.
Решение:
1. Поскольку треугольник ABC равнобедренный с AB = AC, то угол BAC равен углу BCA.
2. Биссектрису CL делит угол ACB пополам, следовательно, угол BCL = угол LCB.
3. Поскольку AK = BL и AK лежит на луче AC, то по определению равенства отрезков, AK и BL равны.
4. Рассмотрим треугольники BCL и CBL. Поскольку угол BCL = угол LCB, то угол BCL = угол BLC (по свойству биссектрисы).
5. Теперь заметим, что в треугольнике BLC, угол BLC равен углу BLC. Поскольку BL = AK и мы отложили равные отрезки, то треугольники BLC и AKC равны по двум углам и стороне (по теореме о равенстве треугольников).
6. Используем теорему о круге, чтобы показать, что B, L, K и C лежат на одной окружности. Рассмотрим следующие углы:
- Углы, которые лежат в одном сегменте окружности, равны.
- Поскольку BCL и BKC равны, а также угол BCL равен углу BKC, треугольники BLC и BKC равны по углам.
7. Поэтому углы BLC и BKC равны и по определению лежат на одной окружности.
Ответ: Точки B, L, K и C лежат на одной окружности.