В равнобедренном треугольнике  АВС провели биссектрису  CL угла при его основании. На луче АС отложили отрезок  АK, равный  ВL. Докажите, что точки В, L, K и C лежат на  одной окружности.
от

1 Ответ

Дано: Равнобедренный треугольник ABC с AB = AC. Биссектрису CL угла ACB пересекает отрезок BK. На луче AC отложен отрезок AK, равный BL. Докажите, что точки B, L, K и C лежат на одной окружности.

Найти: Доказать, что точки B, L, K и C лежат на одной окружности.

Решение:
1. Поскольку треугольник ABC равнобедренный с AB = AC, то угол BAC равен углу BCA.

2. Биссектрису CL делит угол ACB пополам, следовательно, угол BCL = угол LCB.

3. Поскольку AK = BL и AK лежит на луче AC, то по определению равенства отрезков, AK и BL равны.

4. Рассмотрим треугольники BCL и CBL. Поскольку угол BCL = угол LCB, то угол BCL = угол BLC (по свойству биссектрисы).

5. Теперь заметим, что в треугольнике BLC, угол BLC равен углу BLC. Поскольку BL = AK и мы отложили равные отрезки, то треугольники BLC и AKC равны по двум углам и стороне (по теореме о равенстве треугольников).

6. Используем теорему о круге, чтобы показать, что B, L, K и C лежат на одной окружности. Рассмотрим следующие углы:

   - Углы, которые лежат в одном сегменте окружности, равны.

   - Поскольку BCL и BKC равны, а также угол BCL равен углу BKC, треугольники BLC и BKC равны по углам.

7. Поэтому углы BLC и BKC равны и по определению лежат на одной окружности.

Ответ: Точки B, L, K и C лежат на одной окружности.
от