Дано:
- Хорда AB окружности разбивает её на два сегмента.
- Во втором (меньшем) сегменте вписана окружность, касающаяся хорды AB в середине.
- На дуге большего сегмента выбрана точка C так, что вписанная окружность треугольника ABC равна второй окружности (вписанной в меньший сегмент).
- Длина хорды AB = 2.
Найти: периметр треугольника ABC.
Решение:
1. Пусть радиус вписанной в меньший сегмент окружности равен r. Хорда AB разбивает окружность на два сегмента, и из условия задачи известно, что эта окружность касается AB в середине. То есть AB является диаметром этой вписанной окружности, и её радиус r равен половине длины AB:
r = AB / 2
r = 2 / 2
r = 1
2. Внутренняя окружность треугольника ABC также имеет радиус r = 1. Поскольку радиус вписанной окружности и равен радиусу окружности, касающейся хорды AB в середине, треугольник ABC является равнобедренным с основанием AB и двумя равными боковыми сторонами.
3. В треугольнике ABC основание AB = 2 и радиус вписанной окружности равен 1. Периметр треугольника можно найти следующим образом:
Так как радиус вписанной окружности треугольника равен 1, воспользуемся формулой для радиуса вписанной окружности равнобедренного треугольника:
r = (a + b - c) / 2, где a и b - равные боковые стороны, и c - основание.
Подставляем известные значения:
1 = (a + a - 2) / 2
1 = (2a - 2) / 2
2 = 2a - 2
4 = 2a
a = 2
4. Таким образом, боковые стороны равнобедренного треугольника равны 2. Периметр треугольника ABC будет равен:
Периметр = AB + 2 * боковая сторона
Периметр = 2 + 2 * 2
Периметр = 2 + 4
Периметр = 6
Ответ: периметр треугольника ABC равен 6.