Дано:
- Четырехугольник ABCD, где стороны AB и CD разделены на три равные части точками P1, P2, P3 и Q1, Q2, Q3 соответственно.
- Стороны AD и BC также разделены на три равные части точками R1, R2, R3 и S1, S2, S3 соответственно.
- Отрезки, соединяющие соответствующие точки деления, пересекаются, образуя несколько новых отрезков.
Найти:
- Доказать, что отрезки, соединяющие точки деления противоположных сторон четырехугольника, делят среднюю линию на три равные части.
Решение:
1. Определим точки деления. Пусть точки деления на сторонах AB и CD обозначены как P1, P2, P3 и Q1, Q2, Q3 соответственно. Точки деления на сторонах AD и BC обозначены как R1, R2, R3 и S1, S2, S3 соответственно.
2. Соединим точки P1 с Q1, P2 с Q2 и P3 с Q3. Аналогично, соединим точки R1 с S1, R2 с S2 и R3 с S3.
3. Рассмотрим среднюю линию четырехугольника, которая соединяет середины противоположных сторон. Обозначим её как M.
4. Покажем, что отрезки, соединяющие точки P1 с Q1, P2 с Q2 и P3 с Q3, и точки R1 с S1, R2 с S2 и R3 с S3 пересекаются на средней линии и делят её на три равные части.
5. Используем теорему о подобии треугольников. Пусть отрезок, соединяющий P1 и Q1, пересекает среднюю линию в точке M1, отрезок, соединяющий P2 и Q2 - в точке M2, и отрезок, соединяющий P3 и Q3 - в точке M3. Точно так же отрезок, соединяющий R1 и S1, пересекает среднюю линию в точке N1, отрезок, соединяющий R2 и S2 - в точке N2, и отрезок, соединяющий R3 и S3 - в точке N3.
6. Так как стороны четырехугольника разделены на равные части и отрезки соединяют соответствующие точки, то отрезки M1M2, M2M3 и M1M3 будут равными. Это следует из подобия треугольников и пропорциональности.
Ответ:
Полученные отрезки делят среднюю линию четырехугольника на три равные части.