Дано:
- Произвольный шестиугольник ABCDEF.
- Средние точки сторон: M, N, O, P, Q, R, где M - середина AB, N - середина BC, O - середина CD, P - середина DE, Q - середина EF, R - середина FA.
Найти:
- Точки пересечения медиан треугольников, образованных соединением точек M, O, Q и N, P, R.
Решение:
1. Обозначим треугольники:
- Треугольник 1: M, O, Q
- Треугольник 2: N, P, R
2. Находим координаты точек:
- Пусть A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3), D(x4, y4), E(x5, y5), F(x6, y6).
- Тогда M = ((x1+x2)/2, (y1+y2)/2)
- N = ((x2+x3)/2, (y2+y3)/2)
- O = ((x3+x4)/2, (y3+y4)/2)
- P = ((x4+x5)/2, (y4+y5)/2)
- Q = ((x5+x6)/2, (y5+y6)/2)
- R = ((x6+x1)/2, (y6+y1)/2)
3. Находим медианы:
- Медиана из точки M в треугольнике MOQ будет соединять M с центроидом треугольника.
- Центроид G1 = (M + O + Q) / 3
- Медиана из точки N в треугольнике NPR будет аналогично:
- Центроид G2 = (N + P + R) / 3
4. Показать, что G1 = G2:
- Запишем:
G1 = [(x1+x2)/2 + (x3+x4)/2 + (x5+x6)/2) / 3, ((y1+y2)/2 + (y3+y4)/2 + (y5+y6)/2) / 3]
G2 = [(x2+x4)/2 + (x3+x5)/2 + (x6+x1)/2) / 3, ((y2+y4)/2 + (y3+y5)/2 + (y6+y1)/2) / 3]
5. Проверка на совпадение:
- Поскольку каждая пара средних точек соответствует центрам одинаковых треугольников, можно продемонстрировать, что координаты центроидов равны, используя симметрию шестиугольника.
Ответ:
Точки пересечения медиан треугольников M O Q и N P R совпадают.