Дано:
- Векторы a, b и c с координатами в двумерном пространстве.
Найти:
- Признак коллинеарных векторов и доказательство этого признака.
Решение:
1. Признак коллинеарности векторов:
Векторы a, b и c считаются коллинеарными, если существует такое число k, что:
a = k * b или b = m * c или a = n * c, где k, m, n - некоторые скаляры.
2. Альтернативная формулировка:
Векторы a и b коллинеарны, если их детерминант равен нулю.
Для двух векторов a = (x1, y1) и b = (x2, y2), проверяем следующее:
det(a, b) = x1 * y2 - x2 * y1 = 0.
3. Доказательство:
Предположим, что векторы a и b имеют координаты:
a = (x1, y1)
b = (x2, y2)
Если векторы коллинеарны, то один из векторов можно выразить через другой:
a = k * b, где k - некоторое число.
Тогда:
x1 = k * x2
y1 = k * y2
Теперь подставим это в определитель:
det(a, b) = x1 * y2 - x2 * y1 = (k * x2) * y2 - x2 * (k * y2) = k * (x2 * y2) - k * (x2 * y2) = 0.
Таким образом, если det(a, b) = 0, то векторы a и b коллинеарны.
Ответ:
Признак коллинеарных векторов заключается в том, что векторы a и b коллинеарны, если детерминант, вычисленный по их координатам, равен нулю: det(a, b) = 0. Доказательство основано на том, что при коллинеарности одного вектора можно выразить через другой, что приводит к нулевому значению детерминанта.