Дано:
- Длина стороны ромба ABCD = 1
- Угол BCD = 60°
Найти:
- Скалярное произведение векторов AK и BM.
Решение:
1. Расположим точки A, B, C, D в координатной системе. Пусть:
- A(0; 0)
- B(1; 0) (так как AB = 1 по оси x)
- C будет находиться на угле 60° относительно линии AB. Поскольку CD имеет ту же длину, C можно определить через координаты:
C = (B.x + cos(60°), B.y + sin(60°)) = (1 + 0.5; 0 + √3/2) = (1.5; √3/2)
- D на вертикали от A с той же длиной: D = (0.5; √3/2)
2. Найдем координаты точек M и K, которые являются серединами сторон AD и CD соответственно:
- M = ((A.x + D.x)/2; (A.y + D.y)/2) = ((0 + 0.5)/2; (0 + √3/2)/2) = (0.25; √3/4)
- K = ((C.x + D.x)/2; (C.y + D.y)/2) = ((1.5 + 0.5)/2; (√3/2 + √3/2)/2) = (1; √3/2)
3. Теперь найдем векторы AK и BM:
Вектор AK:
AK = K - A = (1; √3/2) - (0; 0) = (1; √3/2)
Вектор BM:
BM = M - B = (0.25; √3/4) - (1; 0) = (-0.75; √3/4)
4. Вычислим скалярное произведение векторов AK и BM:
AK • BM = (1; √3/2) • (-0.75; √3/4) = 1 * (-0.75) + (√3/2) * (√3/4)
= -0.75 + (√3 * √3) / (2 * 4) = -0.75 + 3/8
5. Приведем к общему знаменателю:
-0.75 = -6/8
Следовательно:
-6/8 + 3/8 = -3/8
Ответ:
Скалярное произведение векторов AK и BM равно -3/8.