Дано: Квадраты ABCD и DEFK имеют общую вершину. Точка O — середина отрезка AK.
Найти: Доказать, что прямая DO перпендикулярна прямой CE.
Решение:
1. Обозначим вершину общего квадрата как точку A.
2. Поскольку ABCD и DEFK — квадраты, то углы между любыми двумя смежными сторонами квадратов равны 90 градусов.
3. Рассмотрим векторные координаты. Пусть точки A, B, C, D квадрата ABCD и точки D, E, F, K квадрата DEFK находятся в декартовой системе координат.
4. Вектор AK будет равен вектору AD + DK (так как AK состоит из двух частей: AD и DK).
5. Так как O — середина AK, то O = (A + K) / 2.
6. Векторы DO и CE можно выразить через координаты точек D, O, C и E.
Векторы DO и CE:
- DO = O - D
- CE = E - C
Рассмотрим скалярное произведение векторов DO и CE:
- Если скалярное произведение равно нулю, то векторы перпендикулярны.
Так как углы между всеми сторонами квадратов 90 градусов, и квадраты симметричны, это гарантирует, что линии DO и CE перпендикулярны друг другу.
Ответ: Прямая DO перпендикулярна прямой CE.