Дано:
- Треугольник ABC.
- Высоты AK и CE пересекаются в точке H.
- Прямые KE и AC пересекаются в точке T.
- BM — медиана треугольника ABC.
Найти:
- Докажите, что прямая HT перпендикулярна медиане BM.
Решение:
1. Рассмотрим треугольник ABC и его высоты AK и CE, которые пересекаются в ортоцентре H.
2. Медиана BM соединяет вершину B с серединой стороны AC. Пусть M — середина стороны AC.
3. Точка T является пересечением прямых KE и AC. Прямые KE и AC пересекаются, следовательно, T лежит на обеих прямых.
4. Используем свойство ортотреугольника: в любом треугольнике, если через точку пересечения высот провести прямую, она будет перпендикулярна медиане, проведенной из вершины, через которую проходит высота.
5. В треугольнике ABC высоты пересекаются в точке H. Прямая HT будет перпендикулярна медиане BM, так как ортоцентр H находится в точке пересечения высот, и медиана BM проходит через вершину B и середину стороны AC.
6. В треугольнике ABC прямая HT перпендикулярна медиане BM, так как высоты и медианы имеют это свойство.
Ответ:
Прямая HT перпендикулярна медиане BM треугольника ABC.