Дано: остроугольный треугольник ABC с высотами AK, BL и CM, которые пересекаются в точке H.
Найти: доказать, что BM · BA = BH · BL = BK · BC.
Решение:
1. Рассмотрим треугольники ABH и BHM. Так как AK, BL и CM – высоты треугольника ABC, то ∠AKH = ∠BHL = 90°. Это означает, что ∠ABH и ∠BHM прямые углы.
2. По определению высот треугольника, высота AK перпендикулярна BC, высота BL перпендикулярна AC, а высота CM перпендикулярна AB. Поскольку точка H – ортоцентр треугольника ABC, то все углы между высотами и сторонами равны 90°.
3. Мы будем использовать свойства подобия треугольников и отношения между сторонами, основанные на их высотах.
4. Треугольники ABH и BHM подобны, так как у них общие углы при вершине B и угол при H равен 90°:
- Угол ABH = угол BHM = 90°.
- Угол HBH = угол HBH (общий угол).
По подобию треугольников ABH и BHM, имеем:
(BM / BH) = (BH / AB).
5. Аналогично, треугольники BHK и BKC подобны:
- Угол BHK = угол BKC = 90°.
- Угол KHB = угол KCB.
По подобию треугольников BHK и BKC, имеем:
(BK / BH) = (BH / BC).
6. Теперь рассмотрим выражение BM · BA = BH · BL:
- Подобие треугольников ABH и BHM: BM / BH = BH / AB.
- Перемножаем обе стороны этого уравнения на AB: BM · AB = BH^2.
Рассмотрим треугольники BHK и BKC:
- Подобие треугольников BHK и BKC: BK / BH = BH / BC.
- Перемножаем обе стороны этого уравнения на BC: BK · BC = BH^2.
7. Таким образом, мы получаем:
BM · BA = BH^2 и BK · BC = BH^2.
8. Следовательно:
BM · BA = BH · BL = BK · BC.
Ответ: BM · BA = BH · BL = BK · BC.