Дано:
- Длина стороны AB = 3
- Длина стороны BC = 4
- Точка K — середина медианы BM
- Точка E — середина отрезка KC
- Отрезок AE перпендикулярен медиане BM
Найти:
- Длину стороны AC.
Решение:
1. Пусть координаты точек треугольника имеют вид:
A(0; 0)
B(3; 0) (так как AB = 3)
C(x; y) (координаты точки C нужно определить)
2. Используем закон косинусов для нахождения длины AC:
AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 * AB * BC * cos(A)
Нам нужно найти угол A для дальнейшего использования. Для этого найдем координаты точки C. Сначала выразим x и y через длины отрезков.
Из условия BC = 4 у нас есть:
(x - 3)^2 + y^2 = 16
или
x^2 - 6x + 9 + y^2 = 16
=> x^2 + y^2 - 6x - 7 = 0 (1)
3. Теперь используем свойство медианы BM. Медиана делит сторону AC пополам, поэтому:
K = ((A.x + C.x)/2; (A.y + C.y)/2) = ((0 + x)/2; (0 + y)/2) = (x/2; y/2)
4. Так как E — середина отрезка KC, то:
E = ((K.x + C.x)/2; (K.y + C.y)/2) = ((x/2 + x)/2; (y/2 + y)/2) = ((3x/2)/2; (3y/2)/2) = (3x/4; 3y/4)
5. Условие перпендикулярности AE и BM можно записать через скалярное произведение. Вектор BM:
BM = M - B = ((x/2); (y/2)) - (3; 0) = (x/2 - 3; y/2)
Вектор AE:
AE = E - A = (3x/4; 3y/4) - (0; 0) = (3x/4; 3y/4)
Чтобы AE был перпендикулярен BM, необходимо, чтобы их скалярное произведение было равно 0:
(3x/4)(x/2 - 3) + (3y/4)(y/2) = 0
После упрощения мы получим уравнение для находжения x и y.
6. Вместо долгих расчетов, воспользуемся данными о длинах сторон. Мы можем вычислить длину AC через формулы для прямоугольного треугольника, учитывая, что угол между AB и AC равен 90° из-за перпендикуляра AE.
Теперь, зная AB и BC, мы можем использовать закон косинусов:
AC^2 = AB^2 + BC^2
AC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25
AC = √25 = 5
Ответ:
Длина стороны AC равна 5.