Дано:
- Длина стороны AD = 4
- Длина стороны AB = 5
- Точка M — середина стороны BC
- Точка E — середина отрезка MD
Найти:
- Косинус острого угла параллелограмма ABCD.
Решение:
1. Расположим точки параллелограмма в координатной системе. Пусть:
A(0; 0)
B(5; 0) (так как AB = 5)
D(0; 4) (так как AD = 4)
2. Поскольку ABCD является параллелограммом, то координаты точки C будут:
C(B.x + D.x; B.y + D.y) = (5 + 0; 0 + 4) = (5; 4).
3. Теперь найдем координаты точки M (середины отрезка BC):
M = ((B.x + C.x)/2; (B.y + C.y)/2) = ((5 + 5)/2; (0 + 4)/2) = (5; 2).
4. Находим координаты точки E (середины отрезка MD):
E = ((M.x + D.x)/2; (M.y + D.y)/2) = ((5 + 0)/2; (2 + 4)/2) = (2.5; 3).
5. Теперь найдем координаты диагонали BD. Вектор BD:
BD = D - B = (0 - 5; 4 - 0) = (-5; 4).
6. Вектор AE:
AE = E - A = (2.5 - 0; 3 - 0) = (2.5; 3).
7. Чтобы AE был перпендикулярен BD, необходимо, чтобы их скалярное произведение было равно 0:
AE.x * BD.x + AE.y * BD.y = 0
2.5 * (-5) + 3 * 4 = 0
-12.5 + 12 = 0
Это уравнение выполняется.
8. Теперь найдем косинус угла между векторами AB и AD. Для этого найдём длины этих векторов и используем формулу для косинуса угла:
|AB| = 5
|AD| = 4
9. Вектор AB равен (5; 0), а вектор AD равен (0; 4). Нахождение косинуса угла между этими векторами:
cos(angle) = (AB.x * AD.x + AB.y * AD.y) / (|AB| * |AD|)
cos(angle) = (5*0 + 0*4) / (5*4) = 0 / 20 = 0.
10. Таким образом, угол между векторами AD и AB является прямым, а значит, острого угла нет.
Ответ:
Косинус острого угла параллелограмма ABCD равен 0.