дано:
Сторона квадрата равна 1. Вершины квадрата: A(0, 0), B(1, 0), C(1, 1), D(0, 1). Вписанная окружность имеет радиус 0.5 и центр в точке O(0.5, 0.5). Пусть точка P(x, y) — произвольная точка на окружности.
найти:
Сумма квадратов расстояний от точки P до вершин квадрата: S = PA^2 + PB^2 + PC^2 + PD^2.
решение:
Расстояния от точки P до вершин квадрата:
1. PA = √((x - 0)^2 + (y - 0)^2) = √(x^2 + y^2)
2. PB = √((x - 1)^2 + (y - 0)^2) = √((x - 1)^2 + y^2)
3. PC = √((x - 1)^2 + (y - 1)^2) = √((x - 1)^2 + (y - 1)^2)
4. PD = √((x - 0)^2 + (y - 1)^2) = √(x^2 + (y - 1)^2)
Теперь найдем сумму квадратов расстояний:
S = PA^2 + PB^2 + PC^2 + PD^2
= (x^2 + y^2) + ((x - 1)^2 + y^2) + ((x - 1)^2 + (y - 1)^2) + (x^2 + (y - 1)^2)
Раскроем скобки:
S = x^2 + y^2 + (x^2 - 2x + 1 + y^2) + (x^2 - 2x + 1 + y^2 - 2y + 1) + (x^2 + y^2 - 2y + 1)
Теперь соберем все вместе:
S = x^2 + y^2 + x^2 - 2x + 1 + y^2 + x^2 - 2x + 1 + y^2 - 2y + 1 + x^2 + y^2 - 2y + 1
Упрощаем:
S = 4x^2 + 4y^2 - 4x - 4y + 4
Теперь знаем, что для любого x и y, которые лежат на окружности с центром (0.5, 0.5) и радиусом 0.5, выполняется равенство:
x = 0.5 + 0.5cos(φ), y = 0.5 + 0.5sin(φ), где φ — угол.
Подставим эти выражения:
S = 4((0.5 + 0.5cos(φ))^2 + (0.5 + 0.5sin(φ))^2) - 4(0.5 + 0.5cos(φ)) - 4(0.5 + 0.5sin(φ)) + 4
После подстановки и упрощения, результат будет равен:
S = 3 + 2 = 5.
ответ:
Сумма квадратов расстояний от произвольной точки на окружности до вершин квадрата равна 5.