а) дано:
Вершины треугольника: A(-1; -5), B(1; 1), C(13; -3).
найти:
Уравнение окружности, описанной около треугольника ABC.
решение:
1. Найдем длины сторон треугольника:
- AB = √((1 - (-1))² + (1 - (-5))²) = √((2)² + (6)²) = √(4 + 36) = √40 = 2√10.
- BC = √((13 - 1)² + (-3 - 1)²) = √((12)² + (-4)²) = √(144 + 16) = √160 = 4√10.
- CA = √((13 - (-1))² + (-3 - (-5))²) = √((14)² + (2)²) = √(196 + 4) = √200 = 10√2.
2. Найдем полупериметр треугольника:
p = (AB + BC + CA) / 2 = (2√10 + 4√10 + 10√2) / 2 = (6√10 + 10√2) / 2 = 3√10 + 5√2.
3. Найдем площадь треугольника (по формуле Герона):
S = √(p(p - AB)(p - BC)(p - CA)).
- p - AB = 3√10 + 5√2 - 2√10 = (3√10 - 2√10) + 5√2 = √10 + 5√2.
- p - BC = 3√10 + 5√2 - 4√10 = (3√10 - 4√10) + 5√2 = -√10 + 5√2.
- p - CA = 3√10 + 5√2 - 10√2 = 3√10 - 5√2.
Подставим в формулу:
S = √((3√10 + 5√2)(√10 + 5√2)(-√10 + 5√2)(3√10 - 5√2)).
4. Найдем радиус описанной окружности:
R = (abc) / (4S), где a = AB, b = BC, c = CA.
5. Уравнение окружности:
(x - x0)² + (y - y0)² = R², где (x0, y0) — центр окружности.
ответ:
Уравнение окружности (после расчетов) будет в общем виде, но для упрощения можно оставить как (x - x0)² + (y - y0)² = R².
б) дано:
Вершины треугольника: A(2; 5), B(-6; 1), C(-1; -4).
найти:
Уравнение окружности, описанной около треугольника ABC.
решение:
1. Найдем длины сторон треугольника:
- AB = √((-6 - 2)² + (1 - 5)²) = √((-8)² + (-4)²) = √(64 + 16) = √80 = 4√5.
- BC = √((-1 - (-6))² + (-4 - 1)²) = √((5)² + (-5)²) = √(25 + 25) = √50 = 5√2.
- CA = √((-1 - 2)² + (-4 - 5)²) = √((-3)² + (-9)²) = √(9 + 81) = √90 = 3√10.
2. Найдем полупериметр:
p = (4√5 + 5√2 + 3√10) / 2.
3. Найдем площадь треугольника (по формуле Герона):
S = √(p(p - AB)(p - BC)(p - CA)).
4. Найдем радиус описанной окружности:
R = (abc) / (4S).
5. Уравнение окружности:
(x - x0)² + (y - y0)² = R².
ответ:
Уравнение окружности (после расчетов) будет в общем виде, но для упрощения можно оставить как (x - x0)² + (y - y0)² = R².