дано:
Вершины треугольника: A(0; 7), B(–9; –5), C(–16; 19).
найти:
Уравнение окружности, вписанной в треугольник ABC.
решение:
1. Найдем длины сторон треугольника:
- AB = √((–9 - 0)² + (–5 - 7)²) = √(81 + 144) = √225 = 15.
- BC = √((–16 - (–9))² + (19 - (–5))²) = √((–7)² + 24²) = √(49 + 576) = √625 = 25.
- CA = √((0 - (–16))² + (7 - 19)²) = √(16² + (–12)²) = √(256 + 144) = √400 = 20.
2. Найдем полупериметр треугольника:
p = (AB + BC + CA) / 2 = (15 + 25 + 20) / 2 = 30.
3. Найдем площадь треугольника (по формуле Герона):
S = √(p(p - AB)(p - BC)(p - CA)) = √(30(30 - 15)(30 - 25)(30 - 20)) = √(30 * 15 * 5 * 10) = √(2250) = 15√10.
4. Найдем радиус вписанной окружности:
r = S / p = (15√10) / 30 = √10 / 2.
5. Найдем координаты центра вписанной окружности (I):
- Координаты центра I можно найти по формуле:
x_I = (a_A * x_A + a_B * x_B + a_C * x_C) / (a_A + a_B + a_C),
y_I = (a_A * y_A + a_B * y_B + a_C * y_C) / (a_A + a_B + a_C),
где a_A, a_B, a_C — длины сторон BC, CA, AB соответственно.
Подставим значения:
- a_A = 25, a_B = 20, a_C = 15.
- x_I = (25 * 0 + 20 * (–9) + 15 * (–16)) / (25 + 20 + 15) = (0 - 180 - 240) / 60 = –420 / 60 = –7.
- y_I = (25 * 7 + 20 * (–5) + 15 * 19) / (25 + 20 + 15) = (175 - 100 + 285) / 60 = 360 / 60 = 6.
6. Таким образом, координаты центра I(-7; 6).
7. Уравнение окружности, вписанной в треугольник:
(x + 7)² + (y - 6)² = (√10 / 2)² = 10 / 4 = 2.5.
ответ:
Уравнение окружности: (x + 7)² + (y - 6)² = 2.5.