дано:
Уравнение: a cosx + b sinx + c = 0, где x в промежутке от 0° до 180°.
найти:
1. Количество решений для x в заданном интервале.
2. Условие на a, b, c для наличия ровно одного решения.
решение:
1. Перепишем уравнение:
a cosx + b sinx = -c.
2. Выразим функцию:
R = √(a² + b²), где R — модуль вектора (a, b).
3. Угловой коэффициент:
tan(φ) = b/a, где φ — угол, соответствующий вектору (a, b).
4. Уравнение может быть записано в виде:
R cos(x - φ) = -c.
5. Найдем границы для R:
- Значение функции R cos(x - φ) колеблется от -R до R.
- Для уравнения a cosx + b sinx + c = 0 необходимо, чтобы -R ≤ -c ≤ R.
6. Условия для количества решений:
- Если |c| < R, уравнение имеет два решения.
- Если |c| = R, уравнение имеет ровно одно решение.
- Если |c| > R, уравнение не имеет решений.
7. Условие для ровно одного решения:
|c| = R или |c| = √(a² + b²).
ответ:
1. Уравнение имеет:
- два решения, если |c| < √(a² + b²);
- одно решение, если |c| = √(a² + b²);
- нет решений, если |c| > √(a² + b²).
2. Условие для ровно одного решения: |c| = √(a² + b²).