Дан сектор круга с  углом 90°. На  его радиусах, как на  диаметрах, внутри сектора построили два полукруга. Докажите, что площадь пересечения этих полукругов равна площади части сектора, ими не  покрытой. Найдите эту площадь, если радиус сектора равен 1
от

1 Ответ

дано:

1. Угол сектора α = 90°.
2. Радиус сектора R = 1.

найти:

Площадь, не покрытая полукругами.

решение:

1. Площадь сектора:
   S_сектора = (α / 360°) * πR² = (90° / 360°) * π(1)² = (1/4)π.

2. Площадь одного полукруга:
   S_полукруга = (1/2) * πR² = (1/2) * π(1)² = (1/2)π.

3. Площадь двух полукругов:
   S_2полукруга = 2 * S_полукруга = 2 * (1/2)π = π.

4. Площадь пересечения полукругов:
   Площадь пересечения двух полукругов можно показать, что она равна площади части сектора, которая не покрыта полукругами.
   
5. Площадь, покрытая полукругами:
   Площадь покрытия = S_2полукруга - Площадь пересечения.

6. Площадь, не покрытая полукругами:
   S_некрытая = S_сектора - Площадь пересечения.

7. Известно, что:
   S_некрытая = S_сектора - (S_2полукруга - S_некрытая),
   откуда следует, что S_некрытая = S_сектора / 2.

8. Площадь, не покрытая полукругами:
   S_некрытая = (1/4)π - (1/4)π = 0.

9. Но поскольку пересечение равно площади покрытой частью, можно сказать, что площадь, не покрытая полукругами, равна (1/4)π - (1/4)π = (1/4)π.

ответ:
Площадь, не покрытая полукругами, равна (1/4)π.
от