Дано:
Радиус круга R = 1 м.
Угол сектора θ = 90°.
Найти:
Площадь вписанного квадрата S.
Решение:
1. Обозначим сторону квадрата как s. Вписанный квадрат будет располагаться так, что две его вершины находятся на окружности, а две другие — на радиусах сектора.
2. Вершины квадрата будут делить угол сектора на два равных угла, каждый из которых равен 45°.
3. Рассмотрим треугольник, образованный радиусами и одной стороной квадрата. Высота h от вершины квадрата до радиуса равна стороне квадрата s.
4. По свойству прямоугольного треугольника:
h = s и основание треугольника равно s/√2.
5. Используя тригонометрию, можем записать:
sin(45°) = (s/√2) / R.
6. Подставим радиус:
sin(45°) = (s/√2) / 1.
7. Известно, что sin(45°) = √2/2, тогда:
√2/2 = s/√2.
8. Умножим обе стороны на √2:
s = 1.
9. Площадь квадрата:
S = s^2 = 1^2 = 1 м².
Ответ:
Площадь квадрата равна 1 м².