дано:
1. Две пересекающиеся хорды AB и CD в круге.
2. Площади двух частей, образованных этими хордами, равны.
найти:
Докажите, что сами хорды равны.
решение:
1. Обозначим точки пересечения двух хорд как O. Хорды делят круг на четыре сектора: AOB, AOD, COB и COD.
2. Площади частей, не имеющие общего отрезка, обозначим как S1 и S2, которые равны:
S1 = S_COB,
S2 = S_AOD.
3. Площадь сектора (треугольника) AOB можно выразить через длину хорды AB и радиус круга:
S_AOB = (1/2) * AB * h_A,
где h_A — высота от центра круга до хорды AB.
4. Аналогично, площадь сектора COD можно выразить как:
S_COD = (1/2) * CD * h_C,
где h_C — высота от центра круга до хорды CD.
5. Так как площади S_AOD и S_COB равны, то:
(1/2) * AB * h_A = (1/2) * CD * h_C.
6. Упрощаем уравнение:
AB * h_A = CD * h_C.
7. Поскольку площади S1 и S2 равны, а высоты h_A и h_C связаны с расстоянием от центра до соответствующих хорд, можно сделать вывод, что если h_A и h_C равны, то AB = CD.
8. Если высоты различны, то при равенстве площадей хорд должны быть равны для соблюдения равенства площадей.
ответ:
Таким образом, если площади двух частей, не имеющие общего отрезка, равны, то сами хорд AB и CD равны.