дано:
1. Две окружности с центрами O1 и O2 и радиусами R1 и R2 соответственно.
2. Прямая l, заданная уравнением y = kx + b.
найти:
Построить прямую, параллельную l, которая высекает на данных окружностях равные хорды.
решение:
1. Обозначим прямую, параллельную l, как m с тем же угловым коэффициентом k, но с другим положением, то есть уравнение m будет иметь вид:
y = kx + b'.
2. Для нахождения точек пересечения прямой m с окружностями, подставим уравнение m в уравнения окружностей.
3. Уравнения окружностей:
- Первая окружность: (x - O1_x)² + (y - O1_y)² = R1².
- Вторая окружность: (x - O2_x)² + (y - O2_y)² = R2².
4. Подставляя y = kx + b' в уравнения окружностей, получим два квадратных уравнения по x.
5. Для равных хорд необходимо, чтобы длины отрезков, определяемых точками пересечения прямой с окружностями, были равны.
6. Длина хорды на окружности может быть найдена по формуле:
L = 2 * sqrt(R² - d²),
где R — радиус окружности, а d — расстояние от центра окружности до прямой.
7. Условия равенства хорд:
2 * sqrt(R1² - d1²) = 2 * sqrt(R2² - d2²),
где d1 и d2 — расстояния от центров O1 и O2 до прямой m.
8. Упрощаем уравнение:
sqrt(R1² - d1²) = sqrt(R2² - d2²).
9. Квадратируем обе стороны:
R1² - d1² = R2² - d2².
10. Переписываем:
d1² - d2² = R1² - R2².
11. Теперь, зная координаты центров окружностей, мы можем выразить расстояния d1 и d2 через координаты и параметры прямой.
ответ:
Построенная прямая, параллельная l, будет высекает на данных окружностях равные хорды, если расстояния от центров окружностей до этой прямой будут удовлетворять условию d1² - d2² = R1² - R2².