дано:
1. Равносторонний треугольник со стороной 1.
2. Поворот треугольника вокруг середины одной из его сторон на угол 90°.
найти:
Отношение, в котором делятся точкой пересечения другие стороны исходного и повёрнутого треугольников.
решение:
1. Обозначим треугольник ABC, где A(0, 0), B(1, 0), C(0.5, √(3)/2). Середина стороны AB — точка M(0.5, 0).
2. Поворот треугольника на 90° вокруг точки M:
- Вершина A(0, 0) после поворота станет:
A' = (0.5 + (0 - 0.5) * cos(90°) - (0 - 0) * sin(90°), 0 + (0 - 0.5) * sin(90°) + (0 - 0) * cos(90°)) = (0.5, -0.5).
- Вершина B(1, 0) после поворота станет:
B' = (0.5 + (1 - 0.5) * cos(90°) - (0 - 0) * sin(90°), 0 + (1 - 0.5) * sin(90°) + (0 - 0) * cos(90°)) = (0.5, 0.5).
- Вершина C(0.5, √(3)/2) после поворота станет:
C' = (0.5 + (0.5 - 0.5) * cos(90°) - (√(3)/2 - 0) * sin(90°), √(3)/2 + (0.5 - 0.5) * sin(90°) + (√(3)/2 - 0) * cos(90°)) = (0.5 - √(3)/2, 0.5).
3. Теперь найдем точку пересечения сторон AC и B'C':
- Уравнение стороны AC: y = √3 * x.
- Уравнение стороны B'C': y = -√3 * (x - 0.5) + 0.5.
4. Подставим x = 0.5 в уравнение AC:
y = √3 * 0.5 = √3 / 2.
5. Подставим x = 0.5 в уравнение B'C':
y = -√3 * (0.5 - 0.5) + 0.5 = 0.5.
6. Точка пересечения P имеет координаты P(0.5, y).
7. Найдем отношение отрезков AP и PC.
- Длина AP = y = √3 / 2.
- Длина PC = 1 - y = 1 - √3 / 2.
8. Отношение AP к PC:
AP / PC = (√3 / 2) / (1 - √3 / 2).
ответ:
Отношение, в котором делятся точкой пересечения другие стороны исходного и повёрнутого треугольников, составляет √3 : (2 - √3).