дано:
1. Равносторонний треугольник со стороной 1.
2. Поворот треугольника вокруг одной из вершин на угол 30°.
найти:
Площадь общей части исходного и повёрнутого треугольников.
решение:
1. Площадь равностороннего треугольника S определяется по формуле:
S = (a² * √3) / 4,
где a — длина стороны треугольника.
2. Для треугольника со стороной 1:
S = (1² * √3) / 4 = √3 / 4.
3. Обозначим вершины треугольника как A(0, 0), B(1, 0), C(0.5, √(3)/2).
4. Поворот треугольника вокруг вершины A(0, 0):
- Вершина B(1, 0) после поворота на угол 30° становится:
B' = (cos(30°), sin(30°)) = (√3/2, 1/2).
- Вершина C(0.5, √(3)/2) после поворота:
C' = (0.5 * cos(30°) - (√(3)/2) * sin(30°), 0.5 * sin(30°) + (√(3)/2) * cos(30°))
= (0.5 * √3/2 - √3/2 * 1/2, 0.5 * 1/2 + √(3)/2 * √3/2)
= (0, √3).
5. Теперь у нас есть новые координаты вершин:
- A(0, 0)
- B'(√3/2, 1/2)
- C'(0, √3).
6. Для нахождения площади общей части треугольников, необходимо определить пересечение. Для этого можно использовать координаты и формулы для площади треугольника.
7. Общая часть будет представлять собой треугольник, основание которого — отрезок между точками B и C, а вершина — точка A.
8. Площадь общего треугольника можно найти по формуле:
S = 0.5 * основание * высота.
9. Высота равна 1 (расстояние от A до линии BC), а основание — длина отрезка BC, которую можно найти по координатам.
10. Найдем длину отрезка BC:
BC = √[(√3/2 - 0)² + (1/2 - √3)²].
11. Площадь общей части будет равна S.
ответ:
Площадь общей части исходного и повёрнутого треугольников составляет 0.5.