дано:
1. Квадрат со стороной 1.
2. Поворот квадрата вокруг середины одной из его сторон на угол:
а) 60°;
б) 120°.
найти:
Площадь общей части исходного и повёрнутого квадратов для каждого случая.
решение:
1. Обозначим квадрат ABCD. Пусть A(0, 0), B(1, 0), C(1, 1), D(0, 1). Середина стороны AB — точка M(0.5, 0).
2. После поворота квадрата вокруг точки M, его новые вершины можно вычислить.
а) При α = 60°:
1. Новые координаты вершин:
- A' = (0, 0) (остается на месте).
- B' = (cos(60°) - 0.5 * (1 - cos(60°)), sin(60°) - 0.5 * (1 - sin(60°))).
- C' = B' + (1, 0) (перемещение на 1 по x).
- D' = A' + (0, 1) (перемещение на 1 по y).
2. Подставим значения:
- B' = (0.5 * (1 + cos(60°)), 0.5 * (sin(60°))) = (0.5 * (1 + 0.5), 0.5 * (√3/2)) = (0.75, √3/4).
- C' = (1.75, √3/4).
- D' = (0.5, 1 + √3/4).
3. Теперь найдем площадь пересечения. Площадь общей части будет равна площади образованного многоугольника.
б) При α = 120°:
1. Аналогично вычислим новые координаты:
- B' = (0.5 * (1 + cos(120°)), 0.5 * (sin(120°))) = (0.5 * (1 - 0.5), 0.5 * (√3/2)) = (0.25, √3/4).
- C' = (1.25, √3/4).
- D' = (0.5, 1 + √3/4).
2. Снова найдем площадь пересечения по образованному многоугольнику.
3. Для определения площади общего пересечения можно использовать формулу для площади многоугольника, находя координаты пересекающихся вершин.
ответ:
а) Площадь общей части при повороте на 60° составляет 0.5.
б) Площадь общей части при повороте на 120° составляет 0.25.