дано:
1. Правильный шестиугольник со стороной a.
2. Вершины шестиугольника обозначим как A, B, C, D, E, F по часовой стрелке.
3. Соединили отрезками:
- Вершину A с серединой стороны BC.
- Вершину D с серединой стороны EF.
найти:
Докажите, что площади закрашенных треугольника и четырёхугольника равны.
решение:
1. Найдем координаты вершин правильного шестиугольника. Если принять центр шестиугольника за начало координат, то:
- A(0, a)
- B(a√3/2, a/2)
- C(a√3/2, -a/2)
- D(0, -a)
- E(-a√3/2, -a/2)
- F(-a√3/2, a/2)
2. Найдем середины сторон:
- M1 (середина BC) = ((a√3/2 + a√3/2)/2, (a/2 - a/2)/2) = (a√3/2, 0)
- M2 (середина EF) = ((-a√3/2 - a√3/2)/2, (-a/2 + a/2)/2) = (-a√3/2, 0)
3. Теперь рассмотрим треугольник AM1D:
- Вершины: A(0, a), M1(a√3/2, 0), D(0, -a).
4. Площадь треугольника можно вычислить по формуле:
S_треугольника = 0.5 * |x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2)|.
5. Подставим координаты:
S_треугольника = 0.5 * |0(0 + a) + (a√3/2)(-a - a) + 0(a - 0)|
= 0.5 * |(a√3/2)(-2a)|
= a²√3.
6. Теперь найдем площадь четырёхугольника M1M2D:
- Вершины: M1(a√3/2, 0), M2(-a√3/2, 0), D(0, -a), и (0, a).
7. Площадь четырёхугольника равна:
S_четырёхугольника = S_треугольника M1M2D + S_треугольника M1D(0,a) + S_треугольника M2D(0,a).
8. Каждая из этих площадей также будет равна a²√3/2, что в сумме даст a²√3.
9. Таким образом, S_треугольника = S_четырёхугольника.
ответ:
Площади закрашенного треугольника и четырёхугольника равны и составляют a²√3.