Дано: правильный шестиугольник со стороной a. Вершины шестиугольника соединены с серединами его сторон.
Найти: какую часть площади всего шестиугольника составляет незакрашенная фигура в центре.
Решение:
1. Площадь правильного шестиугольника вычисляется по формуле:
S_шестиугольника = (3√3 / 2) * a^2.
2. При соединении вершин шестиугольника с серединами его сторон внутри образуется центральная фигура, которая также является правильным шестиугольником.
3. Для нахождения стороны центрального шестиугольника нужно определить расстояние от центра шестиугольника до середины стороны. Это расстояние равно радиусу описанной вокруг шестиугольника окружности, который равен a.
4. Сторона центрального шестиугольника будет равна:
b = a/2, так как каждая сторона центрального шестиугольника делится пополам.
5. Теперь находим площадь центрального шестиугольника:
S_центрального шестиугольника = (3√3 / 2) * (b^2) = (3√3 / 2) * ((a/2)^2) = (3√3 / 2) * (a^2 / 4) = (3√3 / 8) * a^2.
6. Теперь найдем отношение площади центрального шестиугольника к площади всего шестиугольника:
Часть = S_центрального шестиугольника / S_шестиугольника
= [(3√3 / 8) * a^2] / [(3√3 / 2) * a^2].
7. Упрощаем:
Часть = (3√3 / 8) / (3√3 / 2)
= (3√3 / 8) * (2 / 3√3)
= 2 / 8
= 1 / 4.
Ответ: незакрашенная фигура в центре составляет 1/4 площади всего шестиугольника.