дано:
- Параллелограмм ABCD.
- M, N, P, Q - середины сторон AB, BC, CD и DA соответственно.
найти:
- Доказать, что фигура MNPQ является параллелограммом.
решение:
1. По определению, параллелограмм — это четырехугольник, у которого противолежащие стороны равны и параллельны.
2. Рассмотрим отрезки MN и PQ:
- M и N являются серединами сторон AB и BC соответственно.
- Отрезок MN соединяет середины двух сторон параллелограмма.
- В параллелограмме AB || CD, следовательно, MN || PQ.
- Также, по свойству средних линий, MN = 1/2 * AC (где AC - одна из диагоналей параллелограмма).
3. Аналогично рассмотрим отрезки NP и QM:
- P и Q - середины сторон CD и DA соответственно.
- Отрезок NP соединяет середины сторон CD и AD.
- Таким образом, NP || MQ (так как AD || BC) и NP = 1/2 * BD (где BD - другая диагональ параллелограмма).
4. Поскольку MN || PQ и NP || MQ, мы можем сказать, что противоположные стороны MNPQ равны и параллельны.
5. Следовательно, фигура MNPQ удовлетворяет условиям определения параллелограмма.
ответ:
Фигура MNPQ является параллелограммом, так как у нее противоположные стороны равны и параллельны.