дано:
1. Правильный пятиугольник ABCDE со стороной a.
2. Центр пятиугольника обозначим как O.
3. Две прямые, проходящие через O, образуют угол 72°.
найти:
Докажите, что отрезки этих прямых, заключённые внутри пятиугольника, равны.
решение:
1. В правильном пятиугольнике угол между любыми двумя соседними сторонами равен 108°.
2. Поскольку центр O является центром симметрии, он делит пятиугольник на пять равных частей.
3. Углы, образуемые отрезками, проведёнными из центра O к вершинам, равны 72°, так как 360° / 5 = 72°.
4. Обозначим точки пересечения прямых с сторонами пятиугольника как A1 и A2 для первой прямой и B1 и B2 для второй.
5. Рассмотрим треугольники OA1A2 и OB1B2. Угол A1OA2 равен 72°, так как обе прямые проходят через центр O.
6. Поскольку пятиугольник правильный, отрезки OA1 и OA2 равны радиусу описанной окружности R.
7. В треугольнике OA1A2 угол A1OA2 равен 72°. Таким образом, длина отрезка A1A2 может быть найдена по формуле для длины хорд:
L1 = 2R * sin(72° / 2) = 2R * sin(36°).
8. Аналогично, длина отрезка B1B2 будет равна:
L2 = 2R * sin(72° / 2) = 2R * sin(36°).
9. Поскольку радиус R одинаков для обоих отрезков, длины A1A2 и B1B2 равны.
ответ:
Отрезки этих прямых, заключённые внутри пятиугольника, равны.