дано:
1. Правильный треугольник ABC со стороной a.
2. Центр треугольника обозначим как O.
3. Две прямые, проходящие через O, образуют угол 60°.
найти:
Докажите, что закрашенные четырёхугольники имеют равные площади.
решение:
1. В правильном треугольнике O является центром масс и также центром вписанной окружности. Он делит треугольник на три равные части.
2. Обозначим точки пересечения прямых с вершинами треугольника:
- Прямая 1 пересекает стороны AB и AC в точках P и Q.
- Прямая 2 пересекает стороны BC и CA в точках R и S.
3. Поскольку угол между прямыми равен 60°, это создаёт два закрашенных четырёхугольника OPQR и OQRP.
4. Рассмотрим треугольники OAP и OAQ. Площадь этих треугольников можно выразить через основание и высоту.
5. Площадь треугольника OAP, S_OAP, будет равна:
S_OAP = 0.5 * OA * OP * sin(θ),
где θ — угол между OA и OP.
6. Аналогично, площадь треугольника OAQ, S_OAQ, будет равна:
S_OAQ = 0.5 * OA * OQ * sin(θ).
7. Поскольку угол между прямыми равен 60°, то угол между OA и OQ также будет равен 60° (поскольку треугольник равносторонний).
8. Таким образом, площади треугольников OAP и OAQ равны.
9. Поскольку O находится в центре треугольника, и обе прямые делят его на равные части, площади четырехугольников OPQR и OQRP также будут равны.
ответ:
Закрашенные четырёхугольники имеют равные площади.