Дано:
α = 60° - угол между образующими. a = 8 см - длина хорды.
β = 90° - градусная мера дуги, стягиваемой хордой.
Найти:
Sбок - площадь боковой поверхности конуса.
Решение:
Рассмотрим сечение конуса плоскостью, проходящей через две образующие. Это равнобедренный треугольник.
Длина хорды a в основании конуса равна 8 см. Вписанный угол, опирающийся на эту хорду, равен β/2 = 90°/2 = 45°.
Радиус основания конуса R можно найти, используя теорему синусов для треугольника, образованного частью хорды, радиусом и центральным углом α/2 :
a/2 / sin(β/2) = R / sin(180° - β) = R / sin(180° - 90°) = R
a/2 / sin(45°) = R / sin(90°)
a/2 * 1 / √2 = R
Подставив значение a = 8 см, находим R:
8 / 2√2 = R
R = 4√2 см
Половина хорды делит вписанный угол пополам, поэтому каждый угол при основании равнобедренного треугольника сечения равен 45°.
Угол между образующими α = 60°. Это угол между двумя образующими сечения конуса.
Из свойств равнобедренного треугольника, у которого боковые стороны - образующие, находим высоту треугольника (h) сечения. Угол при вершине равен 60°, и углы при основании по 60°. Поэтому треугольник равносторонний.
Высота треугольника равна:
h = 2 * R * sin(β/2) = 2 * 4√2 * sin(45°) = 2 * 4√2 * (1 / √2) = 8 см
Высота конуса H можно найти из теоремы синусов или косинусов в одном из прямоугольных треугольников. Здесь нам нужно знать радиус основания R и образующую, чтобы найти высоту конуса.
Площадь боковой поверхности конуса рассчитывается по формуле:
Sбок = π * R * l,
где l - образующая.
Нам нужна образующая. По теореме косинусов в треугольнике, образованном двумя образующими и их общей хордой, можем найти длину образующей:
l^2 = R^2 + R^2 - 2 * R * R * cos(60°) = 2 * R^2 - 2 * R^2 * (1/2) = R^2
l = R
Площадь боковой поверхности конуса:
Sбок = π * R * l = π * 4√2 * 4√2 = 32π см²
Ответ:
32π см²