Дано:
α = 90° - угол между образующими усеченного конуса. a - длина хорды на большем основании. b - длина хорды на меньшем основании. γ = 120° - градусная мера дуги, отсекаемой плоскостью на каждом основании.
Найти:
S - площадь боковой поверхности усеченного конуса.
Решение:
Сечение усеченного конуса плоскостью, проходящей через две образующие, является треугольником. Угол между образующими 90°. Это значит, что сечение - прямоугольный треугольник. Гипотенуза этого треугольника - это отрезок, соединяющий точки пересечения секущей плоскости с образующими.
Радиус большего основания R1 можно найти по длине хорды a и центральному углу γ:
a = 2 * R1 * sin(γ/2) = 2 * R1 * sin(60°) = 2 * R1 * √3 / 2 = R1 * √3
R1 = a / √3
Аналогично, радиус меньшего основания R2:
b = 2 * R2 * sin(γ/2) = 2 * R2 * sin(60°) = R2 * √3
R2 = b / √3
В прямоугольном треугольнике, образованном сечением, катеты равны R1 и R2. Гипотенуза (l) – это отрезок, соединяющий точки на образующих. По теореме Пифагора:
l^2 = R1^2 + R2^2 = (a/√3)^2 + (b/√3)^2 = (a^2 + b^2) / 3
l = √((a^2 + b^2) / 3)
Площадь боковой поверхности усеченного конуса:
S = π(R1 + R2)l = π * (a/√3 + b/√3) * √((a^2 + b^2) / 3) = π * (a + b) / √3 * √((a^2 + b^2) / 3) = π(a+b)√(a²+b²)/3
Ответ:
π(a+b)√(a²+b²)/3