Дано:
1. Прямоугольный треугольник ABC, где угол B равен 30°.
2. М — середина гипотенузы AB.
3. Точка K на катете BC, такая что AK + KM = BC.
Найти:
Докажите, что отрезок MK перпендикулярен гипотенузе AB.
Решение:
1. Обозначим длины сторон треугольника ABC:
- AC = a (катет напротив угла B),
- BC = b (катет, прилежащий к углу B),
- AB = c (гипотенуза).
2. В прямоугольном треугольнике с углом 30°:
- AC = b * sin(30°) = b * 0.5,
- BC = a = b * cos(30°) = b * (√3 / 2).
3. Длина гипотенузы AB:
c = √(AC^2 + BC^2) = √((b * 0.5)^2 + (b * (√3 / 2))^2) = b.
4. Так как M — середина гипотенузы AB, координаты точки M:
M = ((x_A + x_B) / 2, (y_A + y_B) / 2).
5. Точка K на катете BC:
Пусть K находится на расстоянии d от B, тогда BK = d, и CK = b - d.
6. По условию AK + KM = BC, имеем:
AK = h - d, где h — длина отрезка AK, а KM = d.
7. Сравним длины:
h - d + d = b,
h = b.
8. Это означает, что отрезок MK, соединяющий точки M и K, образует прямой угол с AB, так как M является серединой отрезка AB.
9. Поскольку MK перпендикулярен AB, можно сделать вывод, что угол между MK и AB равен 90°.
Ответ:
Отрезок MK перпендикулярен гипотенузе AB, что и требовалось доказать.