Дано:
1. Четырёхугольник ABCD, угол BAD равен 90°.
2. Стороны:
- BC = a
- CD = b
- BD = c
- AC = d
Найти:
Докажите, что BC + CD + BD > 2 · AC.
Решение:
1. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD.
Угол BAD = 90°, значит, выполнена теорема Пифагора:
AB² + AD² = BD².
2. Учитывая, что AC является диагональю, можно использовать неравенство треугольника:
AC < AB + BC.
3. Также для треугольника BCD:
BC + CD > BD.
4. Сложим неравенства:
BC + CD + BD > AB + BC + BD.
5. Из этого следует, что:
BC + CD + BD > 2 · AC.
6. Поскольку AB и AD — стороны треугольника ABD, и AC = √(AB² + AD²), то можно показать, что:
AC < (AB + AD) / 2, так как AC меньше суммы двух сторон.
7. Таким образом, можно заключить, что:
BC + CD + BD > 2 · AC.
Ответ:
Доказано, что BC + CD + BD > 2 · AC в четырёхугольнике ABCD, где угол BAD равен 90°.