Question

Внутри острого угла с  вершиной  M взяли точку  A. Постройте на  сторонах угла точки  B и  C так, чтобы периметр треугольника  ABC был наименьшим. Чему равен наименьший периметр треугольника  ABC, если расстояния от  точки A до  сторон угла равны 25 и  39, а  расстояние до  его вершины равно 65?

Answer 1

Дано:

1. Расстояние от точки A до одной стороны угла равно 25 (d1 = 25).
2. Расстояние от точки A до другой стороны угла равно 39 (d2 = 39).
3. Расстояние от точки A до вершины угла M равно 65 (h = 65).

Найти:

Наименьший периметр треугольника ABC.

Решение:

1. Обозначим расстояния от точки A до сторон угла как d1 и d2. Точки B и C будут находиться на этих сторонах.

2. Чтобы минимизировать периметр треугольника ABC, необходимо, чтобы точки B и C были отражениями точки A относительно сторон угла.

3. Периметр треугольника ABC можно записать как:
   P = AB + AC + BC.

4. Для нахождения AB и AC, используем теорему Пифагора:
   AB = √(h² + d1²) = √(65² + 25²) = √(4225 + 625) = √(4850).
   AC = √(h² + d2²) = √(65² + 39²) = √(4225 + 1521) = √(5746).

5. Теперь находим длину BC, которая равна d1 + d2 = 25 + 39 = 64.

6. Составим периметр треугольника ABC:
   P = AB + AC + BC = √(4850) + √(5746) + 64.

7. Для упрощения расчетов:
   √(4850) ≈ 69.7 и √(5746) ≈ 75.8.

8. Подставляем значения:
   P ≈ 69.7 + 75.8 + 64 = 209.5.

Ответ:
Наименьший периметр треугольника ABC равен примерно 209.5.