Дано:
Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О, которая является серединой каждого из них.
Найти:
Докажите, что угол ∠CAD равен углу ∠CBD.
Решение:
1. Поскольку точка О является серединой отрезков АВ и CD, отрезки AO и OB равны, и отрезки CO и OD равны.
2. Мы рассмотрим треугольники ACO и BDO. Поскольку AO = OB и CO = OD, треугольники ACO и BDO имеют по два равных отрезка:
AO = OB (по определению середины отрезков),
CO = OD (по определению середины отрезков).
3. Также, угол ∠AOB равен углу ∠COD, так как эти углы образованы пересечением двух отрезков в одной точке, а значит, они равны по определению (это вертикальные углы).
4. Теперь, по теореме о равенстве треугольников по двум сторонам и углу между ними (Теорема SAS):
Треугольники ACO и BDO равны, потому что:
- AO = OB,
- CO = OD,
- угол ∠AOB = угол ∠COD (вертикальные углы).
5. Так как треугольники ACO и BDO равны, это означает, что соответствующие углы равны. Следовательно:
∠CAD = ∠CBD.
Ответ:
∠CAD равен ∠CBD.