Дано:
- Равнобедренный треугольник ABC, где AB = AC.
- Биссектрису AD, проведенную к основанию BC.
Найти:
- Доказать, что биссектрису AD также является медианой и высотой треугольника.
Решение:
1. Поскольку треугольник равнобедренный, то углы при основании равны: ∠BAC = ∠ACB.
2. Проведем биссектрису AD в треугольнике ABC. Она делит угол ∠BAC пополам, и следовательно, ∠BAD = ∠CAD.
3. По свойствам биссектрисы в равнобедренном треугольнике, она делит основание BC на равные отрезки. Обозначим точки пересечения биссектрисы с основанием как E и F, где BE = CF.
4. Поскольку AD делит BC на равные части и проходит через вершину A, то AD является медианой.
5. Рассмотрим треугольники ABD и ACD. Они равны по следующему признаку:
- AB = AC (по условию)
- ∠BAD = ∠CAD (по определению биссектрисы)
- AD = AD (общая сторона)
6. Следовательно, треугольники ABD и ACD равны, что означает, что AD перпендикулярна BC.
7. Так как AD перпендикулярна BC и делит его пополам, то AD является высотой.
Ответ:
Биссектрису равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, также является его медианой и высотой.