Дано:
- Треугольник ABC с медианой BM.
- Точка E на медиане BM так, что угол CEM равен углу ABM.
Найти:
- Докажите, что отрезок EC равен одной из сторон треугольника ABC.
Решение:
1. Обозначим угол A как α, угол B как β, угол C как γ, и угол ABM как φ.
2. Так как BM - медиана треугольника ABC, то BM делит сторону AC на две равные части. Обозначим точку D как середину AC, тогда BD = BM.
3. По условию, угол CEM равен углу ABM, то есть ∠CEM = φ и угол ABM = φ. Следовательно, ∠CEM = ∠ABM.
4. Рассмотрим треугольник BMC, в котором BM - медиана, и угол BMC = 180° - (α + γ).
5. В треугольнике BMC угол BMC равен 180° - ∠CEM. Подставляем угол CEM = ∠ABM = φ:
угол BMC = 180° - φ.
6. Угол BMC также равен углу при основании равнобедренного треугольника BMC. Так как угол CEM = угол ABM, отрезок EC будет равен одной из сторон треугольника ABC.
7. В равнобедренном треугольнике BMC, так как медиана BM = BD и угол CEM равен углу ABM, то EC равен одной из сторон треугольника, что следует из симметрии и равенства углов.
Ответ:
Отрезок EC равен одной из сторон треугольника ABC.