Дано:
- Треугольник ABC.
- Медиана AD, проведенная из вершины A к середине стороны BC (точка D является серединой BC).
Найти:
- Доказать, что высоты треугольников ABD и ACD, проведенные к медиане AD, равны.
Решение:
1. Рассмотрим треугольники ABD и ACD. Эти треугольники имеют общую медиану AD.
2. Площадь треугольника ABD можно выразить через медиану AD и высоту h1, проведенную из вершины B к медиане AD:
Площадь ABD = 1/2 * AD * h1
3. Площадь треугольника ACD можно выразить через медиану AD и высоту h2, проведенную из вершины C к медиане AD:
Площадь ACD = 1/2 * AD * h2
4. Поскольку медиана AD делит треугольник ABC на два треугольника с равными площадями, то:
Площадь ABD = Площадь ACD
5. Из этого следует, что:
1/2 * AD * h1 = 1/2 * AD * h2
6. Разделив обе стороны на 1/2 * AD, получаем:
h1 = h2
Ответ:
Высоты треугольников ABD и ACD, проведенные к медиане AD, равны.