Дано:
- Треугольник ABC.
- Прямая, проходящая через середины сторон AB и AC (точки D и E соответственно).
Найти:
- Доказать, что высоты, опущенные из концов третьей стороны BC на эту прямую, равны.
Решение:
1. Пусть F и G — точки пересечения прямой DE с высотами, опущенными из точек B и C на эту прямую.
2. Прямая DE делит треугольник ABC на два треугольника ADE и BEC. Так как DE проходит через середины AB и AC, она является медианой в этих треугольниках.
3. В треугольниках ABD и ACD прямая DE является медианой, следовательно, треугольники ADE и CDE равны по площади.
4. Высоты, опущенные на прямую DE из точек B и C, пересекают ее в точках, которые равны по расстоянию от прямой DE.
5. Площадь треугольника ABC равна сумме площадей треугольников ADE и CDE. Площадь треугольников ADE и CDE, в свою очередь, равна половине площади треугольника ABC, и высоты этих треугольников на прямую DE будут равны, поскольку прямые и медианы в равных треугольниках равны по высотам.
6. Следовательно, высоты, опущенные из концов стороны BC на прямую DE, равны.
Ответ:
Высоты, опущенные из концов стороны BC на прямую, проходящую через середины сторон AB и AC, равны.